Approximation de la loi binomiale par la loi normale ou théorème de De Moivre-Laplace

Soit $p\in ]0,1[$. Soit $X_n$ une suite de variables aléatoires suivant la loi binomiale de paramètres $p$ ($q=1-p$) et $n$. Ainsi,

$$P(X_n=k_n)=C_n^{k_n} p^{k_n} q^{n-k_n}, \forall k_n \in \{0,1,\ldots,n\}.$$

Ainsi, on a :

$$P(c<\frac{X_n-np}{\sqrt{npq}}<d) \sim_{n \sim \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_c^d e^{\frac{-t^2}{2}dt}, \forall c<d.$$

En d'autres termes, la loi binomiale approche la loi normale. Idée de la démonstration Rappel de la formule de Stirling :

$$n! \sim_{n \sim \infty} \sqrt{2\pi n}n^ne^{-n}.$$

On pose $t(k_n)=\frac{k_n-np}{\sqrt{npq}}$. On a

$$\begin{eqnarray*} k_n&=&np+t(k_n)\sqrt{npq}\\ &=&np(1+\frac{t(k_n)}{\sqrt{n}}... ...\infty} \frac{t(k_n)}{\sqrt{n}}=0 puisque t(k_n)\in [c,d]). \end{eqnarray*}$$

De même,

$$\begin{eqnarray*} n-k_n&=&nq-t(k_n)\sqrt{npq}\\ &=&nq(1-\frac{t(k_n)}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{p}{q}})\\ &\sim_{n\sim \infty}&nq. \end{eqnarray*}$$

En appliquant la formule de Stirling,

$$\begin{eqnarray*} P(X_n=k_n)&\sim_{n\sim \infty}&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\fr... ...}{k_n} \right)^{k_n} \left( \frac{nq}{n-k_n} \right)^{n-k_n} \end{eqnarray*}$$

On pose alors

$$Q=\sqrt{\frac{n}{k_n(n-k_n)}},$$

$$R=\left( \frac{np}{k_n} \right)^{k_n} \left( \frac{nq}{n-k_n} \right)^{n-k_n}$$

et

$$u=\frac{t(k_n)}{\sqrt{n}}.$$

On obtient

$$\begin{eqnarray*} Q&=&\frac{1}{\sqrt{npq\left( 1+u \sqrt{\frac{q}{p}}\right) \l... ...p}{q}}\right) }}\\ &\sim_{n\sim \infty}&\frac{1}{\sqrt{npq}}. \end{eqnarray*}$$

et

$$\begin{eqnarray*} \ln (R)&=&k_n \ln \left( \frac{np}{k_n}\right)+ (n-k_n) \ln ... ...{1-u\sqrt{\frac{p}{q}}}\right)\\ &=&n(-\frac{u^2}{2}+O(u^3)). \end{eqnarray*}$$

Ensuite,

$$R\sim_{n\sim \infty} e^{\frac{-(t(k_n))^2}{2}}.$$

Il s'ensuit :

$$P(X_n=k_n) \sim_{n\sim \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}} e^{-\frac{(k_n-np)^2}{2npq}}.$$

Ensuite, en admettant qu'on peut faire la somme infinie de ces équivalents (le démontrer n'est pas chose aisée), on obtient :

$$\begin{eqnarray*} \sum_{np+c\sqrt{npq}\leq k_n \leq np+d\sqrt{npq}} P(X_n=k_n) ... ...pi}} \int_c^d e^{-\frac{t^2}{2}}dt (somme de Riemann). \end{eqnarray*}$$