Le théorème central limit

Le théorème de De Moivre-Laplace est un cas particulier du théorème suivant. Enoncé Soient $X_1, X_2, \ldots, X_n$, $n$ variables aléatoires réelles indépendantes de même loi. Si on note $E(X_i)=m$ et $V(X_i)=\sigma^2$, alors :

$$\lim_{n \to \infty} P(a \leq \frac{S_n-nm}{\sqrt{n}\sigma} \leq b)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a}^{b} e^{\frac{-t^2}{2}}dt$$

lorsque $a \leq b$ et $S_n=X_1+ X_2+ \ldots+ X_n$
ou, avec une conclusion formulée autrement, $\frac{S_n-nm}{\sqrt{n}\sigma} \hookrightarrow N(0,1).$ Ce théorème n'est pas démontré.