Formule du crible ou formule de Poincaré

La formule du crible ou de Poincaré est une généralisation d'un théorème déjà établi. Elle lie les probabilités de l'union et celle des différentes intersections possibles dans le cas de $n$ événements. Elle s'écrit :

$$P(\bigcup_{i=1}^{n} A_i)= \sum_{i} P(A_i)- \sum_{i < j} P... ...A_j \bigcap A_k)+ \ldots + (-1)^{n-1}P(\bigcap_{i=1}^{n} A_i).$$

Cette formule se démontre très rapidement par récurrence sur $n$.