Troisième exercice

Cas d'une entrée double discrète. On donne un tableau statistique à double entrée X et Y. Pour l'observation $i$, X prend la valeur $x_i$, Y prend la valeur $y_i$, et ceci dénombré $n_i$ fois.

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert... ...i& 2 & 5 & 3 & 1 & 6 & 2 & 3 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}$$

1. Donner les moyennes à $10^{-3}$ près.
2. Donner les variances à $10^{-3}$ près.
3. Donner la covariance à $10^{-3}$ près.
4. Donner la droite de régression de Y en fonction de X.
5. Donner le coefficient de corrélation et conclure quant à la qualité de cet ajustement.
6. Donner une estimation de Y, lorsque X prend la valeur 1, à $10^{-2}$ près.

Solution :

1. $E(X)=\frac{68}{24}\simeq 2,833$.
   $E(Y)=\frac{163}{24}\simeq 6,791$.
2. $V(X)=\frac{210}{24}-\frac{68^2}{24^2}=\frac{416}{24^2}\simeq 0,722$.
   $V(Y)=\frac{1187}{24}-\frac{163^2}{24^2}=\frac{1919}{24^2}\simeq 3,331$.
3. $Cov(X,Y)=\frac{497}{24}-\frac{68\cdot 163}{24^2}=\frac{844}{24^2}\simeq 1,465$.
4. $y=\frac{844}{416}x+\frac{163}{24}-\frac{844\cdot 68}{416\cdot 24}\simeq 1,043+2,028x$.
5. $\rho (X,Y)=\frac{844}{\sqrt{416\cdot 1919}}\simeq 0,94$.
   Très bon ajustement.
6. Si $\hat{x}=1$, alors $\hat{y}=\frac{844}{416}+\frac{163}{24}-\frac{844\cdot 68}{416\cdot 24}=\frac{1278}{416}\simeq 3,07$.