Covariance

Lorsque les quantités $\sum_{i,j}\vert x_i y_j\vert P(X=x_i \bigcap Y=y_j)$, $\sum_{i}\vert x_i\vert P(X=x_i)$ et $\sum_{j}\vert y_j\vert P(Y=y_j)$ sont définies, on appelle covariance de deux variables aléatoires réelles discrètes $X$ et $Y$, et on note $Cov(X,Y)$ la quantité :

$$Cov(X,Y)= \sum_{i,j}(x_i-E(X))(y_j-E(Y)) P(X=x_i \bigcap Y=y_j).$$

La covariance de deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes est nulle, et on a :

$$Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y).$$

En retournant à la formule donnant la variance de la somme de deux variables aléatoires réelles discrètes, on trouve :

$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y).$$

En généralisant à $n$ variables,

$$V(\sum_{i=1}^n X_i) =\sum_{i=1}^n V(X_i)+2\sum_{i<j}Cov(X_i,X_j).$$

Et ensuite, si les variables sont indépendantes deux à deux :

$$V(\sum_{i=1}^n X_i) =\sum_{i=1}^n V(X_i).$$