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Inégalité de Markov

Soit la variable aléatoire réelle discrète $X$ à valeurs non négatives, d'espérance mathématique $E(X)=m$. Alors,

\begin{displaymath}P(X \geq a ) \leq \frac{m}{a}, \forall a>0.\end{displaymath}

Démonstration $E(X)=m=\sum_{k} x_k P(X=x_k).$
Donc,

\begin{eqnarray*}
\forall a >0,
m & = & \sum_{k,x_k \geq a} x_k P(X=x_k)+
\s...
...eq & a \sum_{k,x_k \geq a} P(X=x_k) \\
& \geq & a P(X\geq a).
\end{eqnarray*}



Il s'ensuit que

\begin{displaymath}P(X \geq a ) \leq \frac{m}{a}, \forall a>0.\end{displaymath}



Vekemans 2002-06-24