Inégalité de Markov

Soit la variable aléatoire réelle discrète $X$ à valeurs non négatives, d'espérance mathématique $E(X)=m$. Alors,

$$P(X \geq a ) \leq \frac{m}{a}, \forall a>0.$$

Démonstration $E(X)=m=\sum_{k} x_k P(X=x_k).$
Donc,

$$\begin{eqnarray*} \forall a >0, m & = & \sum_{k,x_k \geq a} x_k P(X=x_k)+ \s... ...eq & a \sum_{k,x_k \geq a} P(X=x_k) \\ & \geq & a P(X\geq a). \end{eqnarray*}$$

Il s'ensuit que

$$P(X \geq a ) \leq \frac{m}{a}, \forall a>0.$$