Exercice

On considère une urne contenant $N$ (on suppose $N \geq 1$) boules noires et $B$ (on suppose $B \geq 2$) boules blanches, toutes indiscernables. Le joueur A extrait des boules de l'urne, sans les remettre, une à une, jusqu'à tirer une boule blanche. Ensuite, le joueur B tire des boules de l'urne, en les remettant, une à une, jusqu'à tirer une boule blanche. Le vainqueur du jeu est celui qui a tiré le plus de boules noires. Qui a le plus de chance de gagner ? Si le joueur B parie $B$ mises alors que le joueur A ne parie que $B-1$ mises, le pari est-il équilibré ? Solution : $P(X=k)=\left(\frac{N}{N+B}\frac{N-1}{N+B-1} \ldots \frac{N+1-k}{N+B+1-k}\right) \frac{B}{N+B-k}.$ Et donc, $P(X=k)=\frac{N!B}{(N+B)!}\frac{(N+B-1-k)!}{(N-k)!}.$ On remarque que $\sum_{k=0}^{N} C_{N+B-1-k}^{B-1}=C_{N+B}^{B}$. Ainsi,

$$\begin{eqnarray*} E(N-X)&=&\frac{N!B}{(N+B)!} \sum_{k=0}^{N} (N-k)\frac{(N+B-1... ... &=&\frac{N!B!B}{(N+B)!} C_{N+B}^{B+1}\\ &=&\frac{BN}{B+1}, \end{eqnarray*}$$

et donc $E(X)=\frac{N}{B+1}$. D'autre part, $P(Y=l/X=k)=\frac{B-1}{B+N-1-k} \left(\frac{N-k}{B+N-1-k}\right)^{l}.$ Donc

$$\begin{eqnarray*} E(Y/X=k)&=&\frac{B-1}{B+N-1-k} \frac{N-k}{B+N-1-k} \sum_{l\g... ...1-k} \left(\frac{B+N-1-k}{B-1}\right)^2\\ &=&\frac{N-k}{B-1}, \end{eqnarray*}$$

puis,

$$\begin{eqnarray*} E(Y)&=&\frac{N!B}{(N+B)!(B-1)} \sum_{k=0}^{N} (N-k)\frac{(N+... ...{N!B!B}{(N+B)!(B-1)} C_{N+B}^{B+1}\\ &=&\frac{BN}{(B-1)(B+1)}, \end{eqnarray*}$$

Il s'ensuit que le joueur B a plus de chance de gagner que le joueur A car $\frac{B}{B-1} \geq 1$. Par contre, le pari dont la cote est fixée plus haut est équitable.