Exercice

Soit $X$ la variable aléatoire dont la valeur est le nombre de points indiqués par la face supérieure d'un dé à 6 faces non pipé, lors de son lancer. On appelle $k$ le résultat obtenu à ce lancer. Soit $Y$ la variable aléatoire totalisant le nombre de fois que l'on obtient pile en jetant $k$ pièces de monnaie équilibrées. Calculer $E(X)$, $V(X)$, $E(Y)$, $V(Y)$, et $Cov(X,Y)$. Solution : Pour calculer $E(X)$ et $V(X)$, on utilise $P(X=k)=\frac{1}{6}, \forall k \in \{1,2,\ldots,6\}$, et il s'ensuit que $E(X)=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{6}k=\frac{7}{2}$ ; $V(X)=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{6}(k-\frac{7}{2})^2=\frac{35}{12}$. Afin d'obtenir $E(Y)$ et $V(Y)$, on utilise $P(Y=i/X=k)=\frac{C_k^i}{2^k}, \forall i \in \{1,2,\ldots,k\}$, et il s'ensuit que $E(Y/X=k)=\sum_{i=1}^{k}i\frac{C_k^i}{2^k}=\frac{k}{2}$ et que $E(Y^2/X=k)=\sum_{i=1}^{k}i^2\frac{C_k^i}{2^k}=\frac{k(k+1)}{4}$ puis que $V(Y/X=k)=E(Y^2/X=k)-(E(Y/X=k))^2=\frac{k}{4}$. En poursuivant, $E(Y)=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{6}\frac{k}{2}=\frac{7}{4}$ ; $E(Y^2)=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{6}\frac{k(k+1)}{4}=\frac{14}{3}$ et donc $V(Y)=E(Y^2)-(E(Y))^2=\frac{77}{48}$ ou encore, $V(Y)=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{6}(\frac{k}{4}+\frac{k^2}{2^2})-(\frac{7}{4})^2=\frac{77}{48}$, d'après la formule de la variance conditionnelle. Par ailleurs, il est évident que $E(XY/X=k)=kE(Y/X=k)=\frac{k^2}{2}$ et que $Cov(X,Y/X=k)=E(XY/X=k)-E(X/X=k)E(Y/X=k)=0$. Puis $E(XY)=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{6}\frac{k^2}{2}=\frac{91}{12}$, et donc $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{35}{24}$ ou encore, $Cov(X,Y)=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{6}(0+\frac{k^2}{2})-\frac{7}{2}\cdot \frac{7}{4}=\frac{35}{24}$, d'après la formule de la covariance conditionnelle. Donner les deux droites de régression. Expliquer. Solution : $D_{Y/X} : y=\frac{x}{2}$ ; $D_{X/Y} : x=\frac{10y+21}{11}$ ; $r(X,Y)=\sqrt{\frac{5}{11}}$. (mauvais ajustement linéaire) Tracer et explications ; donner un nuage statistique de points ayant les mêmes caractéristiques.