Exercice

Soit $X$ la variable aléatoire dont la valeur est le nombre de points indiqués par la face supérieure d'un dé à 6 faces non pipé, lors de son lancer. On considère une urne contenant 6 boules indiscernables au toucher dont 3 noires, 2 blanches et 1 verte. On extrait au hasard une boule de l'urne. Si celle-ci est noire $N$, on lance 3 dés, si elle est blanche $B$, 2 dés et si elle est verte $V$, un dé. Le jeu coûte 8F et rapporte 1F par nombre $Y$ de point(s) indiqué(s) par le(s) dé(s). Combien peut-on espérer gagner $G$ ou perdre au cours d'une partie de ce jeu ? Solution : $E(X)=\frac{7}{2}$; $E(Y/V)=E(X)=\frac{7}{2}$; $E(Y/N)=E(2X)=2E(X)=7$; $E(Y/B)=E(3X)=3E(X)=\frac{21}{2}$; $P(B)=\frac{1}{2}$; $P(N)=\frac{1}{3}$; $P(V)=\frac{1}{6}$. Ainsi, $E(Y)=\frac{7}{2}\frac{1}{6}+7\frac{1}{3}+\frac{21}{2}\frac{1}{2}=\frac{49}{6}$. Et, $E(G)=E(Y)-8=\frac{1}{6}$.