Covariance conditionnelle

Soient $X$, $Y$ et $Z$ trois variables aléatoires réelles discrètes. On définit alors la covariance conditionnelle de $X, Y /Z=z_m$ par :

$$Cov(X, Y /Z=z_m)= \sum_{k,l}(x_k-E(X/Z=z_m))(y_l-E(Y/Z=z_m)) P((X=x_k \bigcap Y=y_l)/Z=z_m),$$

ou par :

$$Cov(X, Y /Z=z_m)=E(XY/Z=z_m)-E(X/Z=z_m)E(Y/Z=z_m),$$

d'après une propriété citée plus haut, relative à la covariance. Il s'ensuit que nous obtenons le résultat suivant :

$$Cov(X,Y)=\sum_m \left(Cov(X,Y/Z=z_m)+E(X/Z=z_m)E(Y/Z=z_m)\right) P(Z=z_m) -E(X)E(Y) .$$

Démonstration On a :

$$\begin{eqnarray*} % latex2html id marker 886 & &\sum_m Cov(X,Y/Z=z_m) P(Z=z_m)... ...ginale)}\\ &=& E(XY) - \sum_m E(Y/Z=z_m) E(X/Z=z_m) P(Z=z_m) \end{eqnarray*}$$

Donc,

$$\begin{eqnarray*} Cov(X,Y)&=&E(XY)-E(X)E(Y) \\ &=& \sum_m \left(Cov(X,Y/Z=z_m)+E(X/Z=z_m)E(Y/Z=z_m)\right) P(Z=z_m) \\ &&-E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$$