Définition

La variable aléatoire $X$ hypergéométrique peut prendre $n+1$ valeurs, $0,1, \ldots,n$, et $P$ (qui dépend des paramètres $N$ -population totale-, $n$ -nombre d'échantillons dans la population totale- et $p$ -probabilité de succès $(q=1-p)$-) est donnée par :

$$P(X=k)=\frac{C_{Np}^kC_{Nq}^{n-k}}{C_N^n}.$$

Montrons que,

$$\sum_{k=0}^n P(X=k)=\sum_{k=0}^n \frac{C_{Np}^kC_{Nq}^{n-k}}{C_N^n} =1.$$

Ceci revient à montrer que

$$\sum_{p=0}^m C_n^pC_{N-n}^{m-p}=C_N^m.$$

Par récurrence sur $N$,

• Pour $N=n$, $\sum_{p=0}^m C_n^pC_{0}^{m-p}=C_n^m=C_N^m.$

• $$\begin{eqnarray*} \sum_{p=0}^m C_n^pC_{N+1-n}^{m-p}&=&\sum_{p=0}^m C_n^p(C_{N-n... ..._n^pC_{N-n}^{m-p}\\ &=&C_{N}^{m-1}+C_{N}^{m}\\ &=&C_{N+1}^m \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  

$X$ suit une loi hypergéométrique de paramètres $N,n$ et$p$ est noté $X \hookrightarrow H(N,n,p)$.