Caractéristiques

$E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)\frac{N-n}{N-1}=npq\frac{N-n}{N-1}$.
$\frac{N-n}{N-1}$ est appelé coefficient d'exhaustivité. Démonstration

$$\begin{eqnarray*} E(X)&=&\sum_{k=0}^n k P(X=k)\\ &=&\sum_{k=0}^n k \frac{C_{N... ...{Nq}^{n-m-1}}{C_{N-1}^{n-1}}=1)\\ &=&Np\frac{n}{N}\\ &=&np. \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} E(X(X-1)) & = & \sum_{k=0}^n k(k-1)P(X=k)\\ & = & \sum_{k=0... ...p(Np-1)\frac{n(n-1)}{N(N-1)} \\ & = & np(Np-1)\frac{n-1}{N-1} \end{eqnarray*}$$

Or

$$\begin{eqnarray*} V(X)&=&E(X^2)-(E(X))^2\\ &=&E(X(X-1))+E(X)-(E(X))^2\\ &=&... ... &=&\frac{np}{N-1}(N-n-p(N-n))\\ &=&\frac{np(N-n)(1-p)}{N-1} \end{eqnarray*}$$

Donc $V(X)=np(1-p)\frac{N-n}{N-1}=npq\frac{N-n}{N-1}$.