Approximation de la loi hypergéométrique par la loi binomiale

La loi binomiale approche la loi hypergéométrique lorsque $N$ tend vers l'infini, pour $p\in [\rho, 1-\rho]$ où $\rho >0$. On suppose donc que $X_N \hookrightarrow H(N,n,p)$ et donc $P(X_N=k)=\frac{C_{Np}^kC_{Nq}^{n-k}}{C_N^n}$. Nous nous proposons de montrer que sous les conditions précédentes,

$$P(X_N=k)=\frac{C_{Np}^kC_{Nq}^{n-k}}{C_N^n} \sim_{N\to \infty} C_n^kp^kq^{n-k}=P(X=k).$$

Calcul de $\frac{P(X_N=k)}{P(X=k)}$ :

$$\begin{eqnarray*} \frac{P(X_N=k)}{P(X=k)}&=&\frac{C_{Np}^kC_{Nq}^{n-k}}{C_N^nC_... ...c{Nq-1}{q}) \ldots (\frac{Nq-n+k+1}{q})}{N(N-1)\ldots(N-n+1)} \end{eqnarray*}$$

Donc

$$P(X_N=k)\sim_{N\to \infty} P(X=k)$$

car le précédent quotient tend vers 1 lorsque $N$ tend vers l'infini.