La réponse est n²-3n+2.

Constatons d'abord que la relation "contrôle la case de" est une realtion symétrique pour des Dames entre-elles (i.e. si la Dame D₁ contrôle la case de la Dame D₂, alors la Dame D₂ contrôle la case de la Dame D₁). Ce serait vrai aussi pour des Tours entre-elles, des Fous entre-eux ou des Cavaliers entre-eux, mais c'est faux pour des pions entre-eux (à cause de la "prise en passant") et c'est faux aussi pour des pièces entre-elles (en effet, ce n'est pas parce que la Dame D contrôle la case du Fou F que le Fou F contrôle la case de la Dame D).

Ainsi, si on trouve la case d'où une Dame D contrôle le moins de cases, il suffit de placer alors des Dames D₁, D₂, ..., D_k sur chacune des cases que ne contrôle pas cette Dame pour que ces k Dames D₁, D₂, ..., D_k ne contrôlent pas la case de la Dame D.

Aussi, c'est au bord qu'une Dame contrôle le moins de cases, et dans ce cas, elle en contôle 3n-2 (voir Séance 1).

Donc, on peut placer n²-3n+2 Dames au maximum pour ne pas contrôler tous l'échiquier (une case de bord peut ne pas être contrôlée dans ce cas).

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