Une première remarque est que
a) les Rois sont immobilisés ;
b) - i) la Tour blanche initialement en a2 (notée T1) ne peut jamais quitter la colonne "a" ;
- ii) la Tour blanche initialement en b1 (notée T2) ne peut jamais quitter la première rangée ;
- iii) la Tour blanche initilement en h7 (notée T3) ne peut jamais quitter la colonne "h" ;
- iv) la Tour blanche initialement en g8 (notée T4) ne peut jamais quitter la huitième rangée.
Une seconde remarque est que la position suivante
avec le trait aux noirs, est gagnante pour les blancs.
Il est utile de considérer la fonction suivante :
f : Position --> ZxZ ;
x --> f(x)=(n° de rangée de la Tour T3 - n° de rangée de la Tour T1,
n° de colonne de la Tour T4 - n° de colonne de la Tour T2).
Si cette fonction a une composante négative ou nulle, la position est gagnante avec le trait et
perdante sans le trait.
Sur la position de départ, la fonction vaut (5,5) et sur la position de la seconde remarque, elle vaut
(1,1). Dans chacune de ces positions, le couple image a deux composantes égales.
Le joueur qui a le trait lorsque la fonction admet pour image un couple pour lequel les
deux composantes sont égales, va forcément donner le trait avec une fonction qui admet pour image
un couple pour lequel les deux composantes sont différentes.
Réciproquement, le joueur qui a le trait lorsque la fonction admet pour image un couple pour lequel les
deux composantes sont différentes, va pouvoir donner le trait avec une fonction qui admet pour image
un couple pour lequel les deux composantes sont égales.
La position relative à la seconde remarque nous dit qu'il faut donner le trait avec une fonction qui
admet deux composantes égales. Dans la position de départ, la fonction ayant deux composantes égales,
les blancs n'ont aucune chance de gagner.
Il reste à savoir si ce jeu est forcément nul ou forcément gagnant pour les noirs.
Mettons que les blancs reçoivent une position pour laquelle la fonction vaut (n,n). Ils vont devoir la
rendre avec une fonction qui vaut (m,n) ou (n,m).
a) si m < n, alors les noirs vont pouvoir retourner une position pour laquelle la fonction vaut
(m,m).
b) si m > n, alors les noirs vont pouvoir retourner une position pour laquelle la fonction vaut encore
(n,n). Dans ce cas, les noirs peuvent-ils toujours progresser ? La réponse est oui, et l'explication est la
suivante : si les blancs sont passés d'une position pour laquelle la fonction vaut (n,n) à une
position pour laquelle la fonction vaut (m,n) ou (n,m) avec m > n, c'est qu'une de leurs Tours s'est
volontairement rapproché de la case a1 ; cependant, comme les blancs ne peuvent pas se rapprocher indéfiniment
de la case a1, ils vont être amenés progressivement à rendre la position avec une fonction qui vaut
(m,n) ou (n,m) avec m < n.
Dans tous les cas, les noirs vont donner aux blancs des positions pour lesquelles la fonction vaut
(n,n), mais où, progressivement, la valeur de n va décroître. Finalement, les blancs vont devoir
rendre une position pour la quelle la fonction admet une composante négative ou nulle, ... et qui
est perdante.
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