Caractéristiques

$E(X)=\lambda$ et $V(X)=\lambda$. Démonstration

$$\begin{eqnarray*} E(X)&=&\sum_{k\geq 0} k\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\\ ... ...1)!}\\ &=& e^{-\lambda} \lambda e^{\lambda}\\ &=& \lambda. \end{eqnarray*}$$

Pour calculer $V(X)$, on calcule tout d'abord $E(X(X-1))$.

$$\begin{eqnarray*} E(X(X-1)) & = & \sum_{k\geq 0} k(k-1)P(X=k)\\ & = & \sum_{k... ...\\ &=& e^{-\lambda} \lambda^2 e^{\lambda}\\ &=& \lambda^2. \end{eqnarray*}$$

Or

$$\begin{eqnarray*} V(X)&=&E(X^2)-(E(X))^2\\ &=&E(X(X-1))+E(X)-(E(X))^2\\ &=&\lambda^2 +\lambda -\lambda^2 \end{eqnarray*}$$

Donc $V(X)=\lambda$.