Approximation de la loi de Poisson par la loi binomiale

La loi binomiale approche la loi de Poisson lorsque $n$ tend vers l'infini, pour $\lambda=np_n<\infty$. On suppose donc que $X_n \hookrightarrow B(n,p_n)$ et donc $P(X_n=k)=C_n^kp_n^kq_n^{n-k}$. Nous nous proposons de montrer que sous les conditions précédentes,

$$P(X_n=k)=C_n^kp_n^kq_n^{n-k} \sim_{n\to \infty}\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}=P(X=k).$$

On a : $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1)\ldots (n-k+1)}{k!}$
Par ailleurs, $p_n^k=\frac{(np_n)^k}{n^k}=\frac{\lambda^k}{n^k}$
et $(1-p_n)^{n-k}=(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}= \frac{(1-\frac{\lambda}{n})^{n}}{(1-\frac{\lambda}{n})^{k}}$
Donc $P(X_n=k)=C_n^kp_n^kq_n^{n-k}=\frac{n(n-1)\ldots (n-k+1)}{k!} \frac{\lambda^k}{n^k}\frac{(1-\frac{\lambda}{n})^{n}}{(1-\frac{\lambda}{n})^{k}}$.
Or $\lim_{n\to \infty} \frac{n(n-1)\ldots (n-k+1)}{n^k}=1,$
$\lim_{n\to \infty} (1-\frac{\lambda}{n})^{k}=1$
et $(1-\frac{\lambda}{n})^{n} \sim_{n\to \infty} e^{-\lambda}$ (par passage au logarithme).
Et donc $P(X_n=k) \sim_{n\to \infty} P(X=k)$ lorsque $\lambda=np_n<\infty$.