Additivité de deux variables aléatoires de Poisson indépendantes

On suppose que $X \hookrightarrow P(\lambda )$ et que $Y \hookrightarrow P(\lambda')$.
Lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes, $X+Y \hookrightarrow P(\lambda+\lambda')$. Démonstration

$$\begin{eqnarray*} P(X+Y=k+l)&=&\sum_{j=0}^{k+l} P(X=j \bigcap Y=k+l-j)\\ &=&\... ...')^{k+l}=\sum_{j=0}^{k+l}C_{k+l}^{j}\lambda^j\lambda'^{k+l-j}), \end{eqnarray*}$$

et donc, $X+Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda+\lambda'$.