Exercice-démonstration

Soit $X$ une variable aléatoire réelle continue de densité $f$. Exprimer la densité de $Y=X^p$, $p \in \hbox{\it I\hskip -2pt N}^*$. Montrer que si $\int_{-\infty}^{\infty} \vert t\vert^nf(t)dt$ existe, alors :

$$E(X^p)= \int_{-\infty}^{\infty} t^pf(t)dt.$$

Premier cas : $p$ impair. $P(Y\leq y)=P(X\leq y^{1/p})= \int_{-\infty}^{y^{1/p}} f(x) dx =\frac{1}{p} \int_{-\infty}^{y} f(u^{1/p}) u^{1/p-1} du$ et la densité de $Y$ est $g(y)=\frac{1}{p} f(y^{1/p}) y^{1/p-1}, \forall y \in \hbox{\it I\hskip -2pt R}$. Il s'ensuit :

$$\begin{eqnarray*} E(Y)&=&\frac{1}{p} \int_{-\infty}^{\infty} u f(u^{1/p}) u^{1/... ...} du \\ &=&\int_{-\infty}^{\infty} t^pf(t)dt u=t^p. \end{eqnarray*}$$

Second cas : $p$ pair. $P(Y\leq y)=P(-y^{1/p} \leq X \leq y^{1/p})= \int_{0}^{y^{1/p}} (f(x)+f(-x)) dx =\frac{1}{p} \int_{0}^{y} [f(u^{1/p})+ f(-u^{1/p}) ] u^{1/p-1} du$ et la densité de $Y$ est $g(y)=\frac{1}{p} [f(y^{1/p})+ f(-y^{1/p}) ] y^{1/p-1}, \forall y \in \hbox{\it I\hskip -2pt R}^+$ et $g(y)=0, \forall y \in \hbox{\it I\hskip -2pt R}^-$. Il s'ensuit :

$$\begin{eqnarray*} E(Y)&=&\frac{1}{p} \int_{0}^{\infty} u [f(u^{1/p})+ f(-u^{1/p... ...t)]dt u=t^p\\ &=&\int_{-\infty}^{\infty} t^pf(t)dt. \end{eqnarray*}$$

Application directe : Si $X$ a pour densité $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$, quelle est la densité de $X^2$ ? Si $y>0, g(y)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi y}} e^{-y/2}$. Si $y \leq 0, g(y)=0$.