Exercice

[13] Un système de monitoring est constitué de modules qui peuvent être montés en série ou en parallèle. Le montage est dit série si la défaillance d'un seul module entraîne la défaillance de tout le système ; il est dit parallèle si la défaillance de tous les modules est nécessaire pour qu'il y ait défaillance de tout le système. La fiabilité (ou probabilité de survie) d'un module est $f$ ; sa probabilité de défaillance est $d=1-f$. Système série

• Quelle est la fiabilité $F_1$ d'un système composé de 10 modules, de fiabilités $f_1=0,98$, montés en série ? (Réponse : $F_1=f_1^{10}=0,81...$)
• Quelle serait la fiabilité $F_2$ d'un système composé de 9 modules de fiabilités $f_1$ et d'1 module de fiabilité $f_2=0,60$, montés en série ? (Réponse : $F_2=f_1^{9}f_2=0,50...$)
• Quelle valeur devrait avoir la fiabilité $f_3$ de 10 modules montés en série pour que la fiabilité du système composé de ces modules, soit supérieure ou égale à $0,98$ ? (Réponse : $f_3^{10}\geq 0,98$, d'où $f_3\geq0,99...$)
• 10 modules sont choisis au hasard dans un lot de fabrication dont on sait que 96 pourcents des modules ont une fiabilité $f_1$ et les autres ont une fiabilité $f_4=0,90$.
  • Quelle est la probabilité $p_1$ d'obtenir un système série de fiabilité maximale ? (Réponse : $p_1=0,96^{10}=0,66...$)
  • Quelle est la probabilité $p_2$ d'obtenir un système série de fiabilité minimale ? (Réponse : $p_2=0,04^{10}=0,00...$)
  • Un contrôle de fabrication permettrait de diminuer le pourcentage des modules de fiabilités $f_4$. A quel niveau de contrôle doit-il amener ce pourcentage $t$ pour que la probabilité $p_3$ d'obtenir un système série de fiabilité maximale soit supérieure à $0,95$ ? (Réponse : $t^{10}\geq0,95$ d'où $t\geq 0,99...$)

Système parallèle

• Quelle est la fiabilité $F_3$ d'un système composé de 10 modules, de fiabilités $f_1$, montés en parallèle ? (Réponse : $F_3=1-(1-f_1)^{10}=0,99...$)
• Quelle serait la fiabilité $F_4$ d'un système composé de 9 modules de fiabilités $f_1$ et d'1 module de fiabilité $f_2$, montés en parallèle ? (Réponse : $F_4=1-(1-f_1)^{9}(1-f_2)=0,99...$)
• Quelle valeur devrait avoir la fiabilité $f_5$ de 10 modules montés en parallèle pour que la fiabilité du système composé de ces modules, soit supérieure ou égale à $0,98$ ? (Réponse : $1-(1-f_5)^{10}\geq 0,98$, d'où $f_5\geq0,32...$)

Protection par redondance Afin d'assurer le bon fonctionnement du monitoring, on envisage de monter en parallèle des ensembles (E) de modules montés en série.

• Quelle serait la fiabilité $F_5$ d'un montage en parallèle de deux ensembles $E_1$ constitués de dix modules de même fiabilité $f_1$ montés en série ? (Réponse : $F_5=1-(1-f_1^{10})^2=0,96...$)
• Quelle serait la fiabilité $F_6$ d'un montage en parallèle de deux ensembles $E_2$ constitués de dix modules de même fiabilité $f_4$ montés en série ? (Réponse : $F_6=1-(1-f_4^{10})^2=0,57...$)
• Combien d'ensembles $E_2$ devrait-on monter en parallèle pour que la fiabilité de ce montage soit au moins égale à $F_5$ ? (Réponse : $1-(1-f_4^{10})^n\geq F_5$ d'où $n\geq 8$)

Evolution temporelle d'une fiabilité : modèle exponentiel Dans ce modèle, on admet que la probabilité de défaillance d'un module dans l'intervalle de temps $[t,t+\Delta t[$, sachant qu'elle ne survient pas dans l'intervalle de temps $[0,t]$, est proportionnelle à la durée $\Delta t$ de cet intervalle, c'est-à-dire de la forme $g \Delta t$, expression dans laquelle $g$ est une constante de proportionalité.

• Soit $D(t)$ la fonction de répartition temporelle des probabilités de défaillance. Montrer que $D(t+\Delta t)-D(t)=(1-D(t))g\Delta t$. (Réponse : $P(t\leq T < t+\Delta t)=D(t+\Delta t)-D(t)$ où $T$ est la variable aléatoire donnant l'instant où la défaillance survient)
• En faisant tendre $\Delta t$ vers $0$, trouver une équation différentielle à variables séparables dont on déduira $D(t)$ et la fonction de densité $d(t)$ correspondante. (Réponse : $\frac{dD}{dt}=(1-D)g$ ; $D(t)=1-e^{-gt}$ et $d(t)=ge^{-gt}$)
• Déduire de $D(t)$, l'expression de la fonction de répartition temporelle $F(t)$ des fiabilités. Calculer la probabilité d'une fiabilité de 1 an en supposant $g=0,02/mois$. (Réponse : $F(t)=e^{-gt}$ ; $F(1 an)=0,78...$)
• Calculer le temps moyen $\overline{T}$ des défaillance et en déduire le temps moyen des fiabilités. (Réponse : $\overline{T}=\frac{1}{g}=50 mois$ ; $\overline{T}=E(F)$)
• Calculer la probabilité d'observer une défaillance entre 1 et 2 ans. (Réponse : $D(2 ans)-D(1 an)=0,16...$)
• Exprimer, en fonction du temps, la fiabilité d'un système série, puis d'un système parallèle, constitués de 10 modules. Calculer la probabilité de survie à 1 an de chacun de ces systèmes. (Réponse : $F(t)^{10}=0,09...$ série ; $1-(1-F(t))^{10}=0,99...$ parallèle)