Exercice

[13] On suppose que la durée de vie d'un individu est une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité $f$ est donnée par

$$\left\{ \begin{array}{ll} f(t)=kt^2(100-t)^2 & si 0\leq t \leq 100 \\ f(t)=0 & sinon \end{array} \right.$$

1. Déterminez $k$ pour que $f$ soit effectivement une densité de probabilité
   Réponse :
   $\int_{-\infty}^{\infty} f(t)dt =1$
   $\Longleftrightarrow \int_{0}^{100} kt^2(100-t)^2dt =1$
   $\Longleftrightarrow \int_{0}^{100} (t^4-2.10^2t^3+10^4t^2)dt =\frac{1}{k}$
   $\Longleftrightarrow \left[ \frac{t^5}{5}-10^2\frac{t^4}{2}+10^4\frac{t^3}{3} \right]_{0}^{100} =\frac{1}{k}$
   $\Longleftrightarrow \frac{10^{10}}{5}-\frac{10^{10}}{2}+\frac{10^{10}}{3} =\frac{1}{k}$
   $\Longleftrightarrow \frac{10^{10}}{30}=\frac{1}{k}$
   $\Longleftrightarrow k=\frac{3}{10^9}$.
2. Calculez l'espérance mathématique de la durée de vie d'un individu, puis l'écart-type.
   Réponses :
   $E(X)=\int_{0}^{100} kt^3(100-t)^2dt$
   $\Longleftrightarrow E(X)=k \left[ \frac{t^6}{6}-2.10^2\frac{t^5}{5}+10^4\frac{t^4}{4} \right]_{0}^{100}$
   $\Longleftrightarrow E(X)=k (\frac{10^{12}}{6}-2\frac{10^{12}}{5}+\frac{10^{12}}{4})$
   $\Longleftrightarrow E(X)=\frac{3}{10^9}\frac{10^{12}}{60}=50.$
   D'autre part, $E(X^2)=\int_{0}^{100} kt^4(100-t)^2dt$
   $\Longleftrightarrow E(X^2)=k \left[ \frac{t^7}{7}-2.10^2\frac{t^6}{6}+10^4\frac{t^5}{5} \right]_{0}^{100}$
   $\Longleftrightarrow E(X^2)=k (\frac{10^{14}}{7}-2\frac{10^{14}}{6}+\frac{10^{14}}{5})$
   $\Longleftrightarrow E(X^2)=\frac{3}{10^9}\frac{10^{14}}{105}=3\frac{10^5}{105}.$
   Il s'ensuit que $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{E(X^2)-(E(X))^2}=10\sqrt{\frac{25}{7}}$
3. Calculez la probabilité pour qu'un individu meure entre 30 et 60 ans
   Réponse :
   $P(30 \leq X \leq 60)$
   $=\int_{30}^{60} \frac{3}{10^9}t^2(100-t)^2dt$
   $=\frac{3}{10^9} \left[ \frac{t^5}{5}-10^2\frac{t^4}{2}+10^4\frac{t^3}{3} \right]_{30}^{60}$
   $=\frac{3}{10^5}(15066-60750+63000)=\frac{51948}{10^5}$.