Inégalité de Markov

Soit la variable aléatoire réelle continue $X$ à valeurs non négatives, d'espérance mathématique $E(X)=m$. Alors,

$$P(X \geq a ) \leq \frac{m}{a}, \forall a>0.$$

Démonstration $E(X)=m=\int_{0}^{\infty} xf(x)dx.$
Donc,

$$\begin{eqnarray*} \forall a >0, m & = & \int_{0}^{a} xf(x)dx+ \int_{a}^{\inf... ... & \geq & a \int_{a}^{\infty} f(x)dx\\ & \geq & a P(X\geq a). \end{eqnarray*}$$

Il s'ensuit que

$$P(X \geq a ) \leq \frac{m}{a}, \forall a>0.$$