Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit la variable aléatoire réelle continue $X$, d'espérance mathématique $E(X)=m$ et de variance
$V(X)=\sigma^2$. Alors,

$$P(\vert X-m\vert> \lambda \sigma ) \leq \frac{1}{\lambda^2}.$$

Démonstration Cette inégalité de Bienaymé-Tchebychev provient directement de celle de Markov.
Par ailleurs, si on suppose l'inégalité de Markov non connue, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev peut se montrer comme suit :
$V(X)=\sigma^2=E((X-m)^2)=\int_{-\infty}^{\infty} (t-m)^2f(t)dt$.
Donc,

$$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon >0, \sigma^2 & = & \int_{-\infty}^{m-\v... ...t)dt)\\ & \geq & \varepsilon^2 P(\vert X-m\vert>\varepsilon). \end{eqnarray*}$$

On pose alors $\varepsilon=\lambda \sigma$, et il s'ensuit que

$$P(\vert X-m\vert> \lambda \sigma ) \leq \frac{\sigma^2}{\lambda^2 \sigma^2} =\frac{1}{\lambda^2}.$$