Caractéristiques

Si $X \hookrightarrow G(a,b)$, $E(X)=ab$ et $V(X)=ab^2$. On a :

$$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} x^{a} e^{\frac{-x}{b}}dx&=&\underbrace{[x^... ...\\ &=&a(a+1)b^2\int_{0}^{\infty} x^{a-1} e^{\frac{-x}{b}}dx \end{eqnarray*}$$

Donc,

$$E(X)=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\Gamma(a)b^a}x^{a}e^{\frac{-x}{b}}dx =ab.$$

$$V(X)=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\Gamma(a)b^a}x^{a+1}e^{\frac{-x}{b}}dx -(E(X))^2=a(a+1)b^2-a^2b^2=ab^2.$$

Il s'ensuit que si $X \hookrightarrow G(1,\frac{1}{\lambda})$, $E(X)=\frac{1}{\lambda}$ et $V(X)=\frac{1}{\lambda^2}$.