Conséquences et propriétés

1. Si Ø désigne l'événement impossible, on a $P($Ø$)=0$. Démonstration $A \bigcap$Ø$=$Ø $\Longrightarrow P(A \bigcup$Ø$)=P(A)+P($Ø$)=P(A)$
   $\Longrightarrow P($Ø$)=0.$
2. Si $\overline{A}$ est l'événement contraire de $A$, alors $P(\overline{A})=1-P(A)$. Démonstration $A \bigcup \overline{A}=E$ et $A \bigcap \overline{A}=$Ø,
   donc $P(A \bigcup \overline{A})=P(A)+P(\overline{A})=P(E)=1$, et donc $P(\overline{A})=1-P(A)$.
3. Soient $A$ et $B$ quelconques, alors $P(A)= P(A \bigcap B) + P(A \bigcap \overline{B})$. Démonstration $(A \bigcap B)\bigcup (A \bigcap \overline{B})=A$ et $(A \bigcap B)\bigcap (A \bigcap \overline{B})=$Ø,
   donc $P((A \bigcap B)\bigcup (A \bigcap \overline{B}))=P(A \bigcap B) + P(A \bigcap \overline{B})=P(A)$.
4. Si $A \subset B$, on a $P(A) \leq P(B)$. Démonstration $A \bigcup (B \bigcap \overline{A})= B$ car $A \subset B$ et $A \bigcap (B \bigcap \overline{A})=$Ø,
   donc $P(B)=P(A)+P(B \bigcap \overline{A})$ et puis $P(A) \leq P(B)$.