Indépendance en probabilité

On dit que $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A/B)=P(A)$. On pourra remarquer que $P(A/B)=P(A) \Longleftrightarrow P(A \bigcap B)=P(A)P(B)$. Propriété Soient $A$ et $B$ deux événements indépendants. Alors :

• $A$ et $\overline{B}$ sont indépendants Démonstration $(A \bigcap B)\bigcup (A \bigcap \overline{B})=A$ et $(A \bigcap B)\bigcap (A \bigcap \overline{B})=$Ø.
  Donc, $P(A)=P(A\bigcap B)+P(A\bigcap \overline{B})=P(A)P(B)+P(A\bigcap \overline{B})$.
  Donc $P(A\bigcap \overline{B})=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(\overline{B})$, ce qui montre que $A$ et $\overline{B}$ sont indépendants.
• $B$ et $\overline{A}$ sont indépendants Démonstration La démonstration est la même que précédemment en interchangeant les rôles de $A$ et $B$.
• $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants Démonstration On a montré que $A$ et $\overline{B}$ sont indépendants, d'après le premier point, donc, d'après le second point, $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants.