Le théorème de Bayes

Soit un référentiel $E$, et soient $E_1, E_2, \ldots, E_n$ formant une partition de $E$.

• $\forall i$ tel que $E_i \subset E$, $E_i \neq$Ø.
• $\forall (i,j)$ tel que $i \neq j$, $E_i \bigcap E_j =$Ø (incompatibles)
• $\bigcup_{i=1}^{n} E_i=E$

Alors, $\forall A \subset E, P(A)=\sum_{j=1}^{n} P(E_j)P(A/E_j)$ (formule dite des probabilités totales), et $\forall i, P(E_i/A)= \displaystyle{\frac{P(E_i)P(A/E_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(E_j)P(A/E_j)}}.$ Démonstration $\forall A \subset E, A=A \bigcap E=A \bigcap (\bigcup_{i=1}^{n} E_i)=\bigcup_{i=1}^{n} (A \bigcap E_i).$
Si $i \neq j$, $A \bigcap E_i$ et $A \bigcap E_j$ sont incompatibles car $E_i$ et $E_j$ le sont.
Donc, $P(A)=\sum_{j=1}^{n} P(A \bigcap E_j)=\sum_{j=1}^{n} P(E_j)P(A/E_j)$.
De plus $P(E_i/A)=\displaystyle{\frac{P(E_i \bigcap A)}{P(A)}}= \displaystyle{\frac{P(E... ...A/E_j)}}= \displaystyle{\frac{P(E_i)P(A/E_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(E_j)P(A/E_j)}}$