Indépendance deux à deux d'un nombre fini d'événements

Soient $E_1, E_2, \ldots, E_n$, $n$ événements. On dit qu'ils sont indépendants deux à deux si $\forall (i,j)$ tel que $i \neq j$, on ait $P(E_i \bigcap E_j)=P(E_i)P(E_j)$. Exemple On lance successivement 2 dés à 6 faces.
On note $A_1$ l'événement obtenir un nombre pair avec la premier dé, $A_2$ l'événement obtenir un nombre impair avec le second dé et $A_3$ l'événement obtenir deux dés de même parité.
Ainsi, $P(A_1)=1/2$, $P(A_2)=1/2$ et $P(A_3)=1/2$.
On a :
$P(A_1 \bigcap A_2)=1/4=P(A_1)P(A_2)$,
$P(A_2 \bigcap A_3)=1/4=P(A_2)P(A_3)$,
et $P(A_1 \bigcap A_3)=1/4=P(A_1)P(A_3)$.
Mais, $P(\bigcap_{i=1}^{3} A_{i})=P($Ø $)=0 \neq \prod_{i=1}^{3} P(A_i)=1/8$. Conclusion
Il n'y a aucune implication entre indépendance deux à deux et indépendance mutuelle.