Propriétés de l'espérance mathématique

• Pour toute constante $a$, $E(a)=a$ (trivial)
• Pour toute constante $a$, $E(aX)=aE(X)$ (trivial)
• $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ (démonstration hors programme) Démonstration Montrons d'abord que si $E(X)$ et si $E(Y)$ existent, alors, $E(X+Y)$ aussi.
  On a $P(X+Y=z_k)=\sum_{i,j, x_i+y_j=z_k} P(X=x_i, Y=y_j).$
  Cependant,
  $$\begin{eqnarray*} \sum_k \vert z_k\vert P(X+Y=z_k)&=&\sum_{i,j,k, x_i+y_j=z_k} ... ...rt P(X=x_i, Y=y_j)+ \sum_{i,j} \vert y_j\vert P(X=x_i, Y=y_j) \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  
  car $\sum_{i,j,k, x_i+y_j=z_k} \vert x_i\vert P(X=x_i, Y=y_j)=\sum_{i,j} \vert x_i\vert P(X=x_i, Y=y_j)$
  et car $\sum_{i,j,k, x_i+y_j=z_k} \vert y_j\vert P(X=x_i, Y=y_j)= \sum_{i,j} \vert y_j\vert P(X=x_i, Y=y_j)$.
  Or $P(X=x_i)=\sum_{j} P(X=x_i, Y=y_j)$ et $P(Y=y_j)=\sum_{i} P(X=x_i, Y=y_j)$, d'après la définition d'une loi marginale. Donc
  
  $$\sum_k \vert z_k\vert P(X+Y=z_k)\leq \sum_i \vert x_i\vert P(X=x_i)+\sum_j \vert y_j\vert P(Y=y_j).$$
  
  
  Il s'ensuit que la série $E(X+Y)$ est absolument convergente et donc convergente.
  Pour montrer que $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$, il suffit maintenant de réécrire les lignes précédentes en enlevant les valeurs absolues et en remplaçant les inégalités par des égalités.
• $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$ (trivial)
• Lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes, on a $E(XY)=E(X)E(Y)$ Démonstration Montrons d'abord que si $E(X)$ et si $E(Y)$ existent, alors, $E(XY)$ aussi.
  On a :
  $$\begin{eqnarray*} \sum_k \vert z_k\vert P(XY=z_k)&=&\sum_{i,j,k, x_i y_j=z_k} \... ... \sum_i \vert x_i\vert P(X=x_i)*\sum_j \vert y_j\vert P(Y=y_j) \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  
  On a pu écrire $P(X=x_i, Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)$ car les variables sont indépendantes.
  On a montré que la série $E(XY)$ est absolument convergente et donc convergente.
  Pour montrer que $E(XY)=E(X)E(Y)$, il suffit maintenant de réécrire les lignes précédentes en enlevant les valeurs absolues.