Propriétés de la variance

• $V(X) \geq 0$. (trivial)
• $V(X)=E((X-E(X))^2)$. (par définition)
• $V(X)=E(X^2)-(E(X))^2$. La variance est donc la différence entre le moment d'ordre 2 et le carré du moment d'ordre 1. Démonstration
  $$\begin{eqnarray*} V(X)&=&E((X-E(X))^2)\\ &=&E(X^2)-E(2XE(X))+E(E(X)^2)\\ &=&E(X^2)-2(E(X))^2+(E(X))^2 \\ &=&E(X^2)-(E(X))^2. \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  

• Pour toute constante $a$, $V(a)=0.$ (en effet, $V(a)=E(a^2)-(E(a))^2=a^2-a^2=0$)
• Pour toute constante $a$, $V(aX)=a^2V(X).$
  (en effet, $V(aX)=E((aX)^2)-(E(aX))^2=a^2[E(X^2)-(E(X))^2]=a^2V(X)$)
• Lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes, on a $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$. Démonstration
  $$\begin{eqnarray*} V(X+Y)&=&E((X+Y)^2)-(E(X+Y))^2\\ &=&E(X^2+2XY+Y^2)-(E(X)+E(... ...^2)-(E(X))^2+E(Y^2)-(E(Y))^2-2[E(XY)-E(X)E(Y)]\\ &=&V(X)+V(Y) \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  
  car puisque $X$ et $Y$ sont indépendantes, $E(XY)=E(X)E(Y)$.
• Lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes, on a $V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y)$. (trivial)