Variance conditionnelle

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles discrètes. On définit alors la variance conditionnelle de $X/Y=y_l$ par :

$$V(X/Y=y_l)= \sum_{k}(x_k-E(X/Y=y_l))^2 P(X=x_k/Y=y_l),$$

ou par :

$$V(X/Y=y_l)=E(X^2/Y=y_l)-[E(X/Y=y_l)]^2,$$

d'après la troisième propriété relative à la variance. Il s'ensuit que nous obtenons le résultat suivant :

$$V(X)=\sum_l \left(V(X/Y=y_l)+[E(X/Y=y_l)]^2\right) P(Y=y_l) -[E(X)]^2 .$$

Démonstration On a :

$$\begin{eqnarray*} % latex2html id marker 814 & &\sum_l V(X/Y=y_l) P(Y=y_l) ... ... marginale)}\\ &=& E(X^2) - \sum_l [E(X/Y=y_l)]^2 P(Y=y_l) \end{eqnarray*}$$

Donc,

$$\begin{eqnarray*} V(X)&=&E(X^2)-[E(X)]^2 \\ &=& \sum_l \left(V(X/Y=y_l)+[E(X/Y=y_l)]^2\right) P(Y=y_l) -[E(X)]^2 \end{eqnarray*}$$