Espérance conditionnelle

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles discrètes. On définit alors l'espérance conditionnelle de $X/Y=y_l$ (on lit $X$ sachant que $Y=y_l$) par :

$$E(X/Y=y_l)=\sum_k x_k P(X=x_k/Y=y_l).$$

Il s'ensuit que nous obtenons le résultat suivant :

$$E(X)=\sum_l E(X/Y=y_l) P(Y=y_l).$$

Démonstration

$$\begin{eqnarray*} % latex2html id marker 791 \sum_l E(X/Y=y_l) P(Y=y_l) & = & ... ...r d\acute{e}finition d'une loi marginale)}\\ &=& E(X) \end{eqnarray*}$$