Denis Vekemans
Maître de conférences au Centre IUFM
de Gravelines
Le vrai ou faux.
Vrai ou faux : une assertion mathématique est soit
vraie, soit fausse. Dans le doute, elle est considérée
comme fausse.
Soit une assertion du type :
U = "quelque soit a, on a l'assertion A" - a)
Pour justifier que U est vraie, on utilise la
variable a pour démontrer A.
- b) Pour justifier que U est fausse, il suffit de
trouver un a (nommé un contre-exemple) tel que A
soit fausse.
V = "j'ai pu trouver a tel que j'ai l'assertion A"
- a) Pour justifier que V est fausse, on utilise la
variable a pour démontrer que A est
fausse.
- b) Pour justifier que V est vraie, il suffit de trouver
un a (nommé un exemple) tel que A soit vraie.
Les opérateurs
logiques.
Le ET et le OU logiques
A ET B |
B est vraie |
B est fausse |
|
A OU B |
B est vraie |
B est fausse |
A est vraie |
Vraie |
Fausse |
|
A est vraie |
Vraie |
Vraie |
A est fausse |
Fausse |
Fausse |
|
A est
fausse |
Vraie |
Fausse |
L'implication A implique B
On la note
.
L'implication
est vraie lorsque si A est vraie,
alors B l'est aussi.
Si l'implication
est vraie, il est possible que
l'implication
, soit fausse. On dit alors que A
implique B, mais que la réciproque est fausse.
Si l'implication
est vraie, il est possible que
l'implication
, soit également vraie. On dit alors
que A et B sont équivalentes et on note
.
L'assertion contraire
Lorsque A est vraie est équivalente à B
est fausse, on dit que A et B sont des assertions
contraires et on note
.
A est vraie et son contraire
est fausse, sont deux assertions
équivalentes.
La contrapposée
L'implication
est vraie et l'implication
est vraie sont deux implications équivalentes.
Plusieurs types de
démonstrations usuels
La démonstration par contrapposée
Pour montrer
,
on va montrer
.
La démonstration par l'absurde
Pour montrer
,
on va supposer que A est vraie et que B est fausse pour
aboutir à une contradiction.
La démonstration par exhaustion
Pour montrer
,
on va décrire l'ensemble de tous les cas qui permettent de
réaliser A : A1, A2,
... et Ap, et montrer que
,
,
... et
.
"Il faut" et "Il suffit"
Lorsque
,
on dit qu'il suffit que A soit vraie pour que B
le soit aussi, mais on dit également que lorsque A est
vraie, il faut que B le soit aussi.
Dans
,
le "il suffit" porte sue A et le "il faut" porte sur B.
Lors d'une question du type : - "Trouver une condition suffisante
pour que A soit vraie", il s'agit de trouver une condition B
telle que
;
- "Trouver une condition nécessaire pour que A soit
vraie", il s'agit de trouver une condition B telle que
;
- "Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que A
soit vraie", il s'agit de trouver une condition B telle que
.
Exercice [Grenoble,
Lyon, 2001]
Exercice [Grenoble, 2004]
Exercice 10 des "sujets zéros" pour la session
2006 proposés par l'ARPEME
Exercices diciplinaires corrigés de cette page.