Denis Vekemans
    Maître de conférences au Centre IUFM de Gravelines
Arithmétique dans l'ensemble des entiers naturels
    L'ensemble des entiers naturels
    Définition naïve : 0 est un entier naturel ; et, si n est un entier naturel, alors n + 1 aussi.
    Ainsi, comme 0 est entier naturel, 0 + 1 = 1 aussi ; puis, comme 1 est entier naturel, 1 + 1 = 2 aussi ; puis, comme 0 est entier naturel, 2 + 1 = 3 aussi ; ...
    Remarque : l'ensemble des entiers naturels est de cardinal infini.
    Multiples
    Définition : on dit que a est multiple de b s'il existe un entier naturel k tel que a = k x b.
    Exemple : 21 est multiple de 7. En effet, 21 = 3 x 7.
    Exercice corrigé

    Vrai ou faux (justifié)

    (1) 10 est-il multiple de 4 ?

    (2) 252 est-il multiple de 9 ?

    (3) Quel est l'ensemble des multiples de 5 ?

    (4) Soit n un entier naturel. 0 est-il un multiple de n ?

    Théorème

    Propriété additive : si a est multiple de c et b est multiple de c, alors, a + b est multiple de c.
    Exemple : 21 et 49 sont multiples de 7 ; et, 21 + 49 = 70 l'est par conséquent.
    Démonstration
    Il existe un entier naturel k tel que a = k x c (car a est multiple de c). Il existe un entier naturel l tel que b = l x c (car b est multiple de c). Ainsi, par somme, a + b = k x c + l x c = (k + l) x c. Puis, a + b est multiple de c (on a pu trouver un entier naturel k + l qui, multiplié par c, donne a + b).
    Théorème

    Propriété de transitivité : si a est multiple de b et b est multiple de c, alors, a est multiple de c.
    Exemple : 63 est multiple de 21 et 21 est multiple de 7 ; puis, 63 est multiple de 7, par conséquent.
    Démonstration
    Il existe un entier naturel k tel que a = k x b (car a est multiple de b). Il existe un entier naturel l tel que b = l x c (car b est multiple de c). Ainsi, par substitution, a = k x b = k x (l x c) = (k x l) x c (par associativité de la multiplication). Puis, a est multiple de c (on a pu trouver un entier naturel k x l qui, multiplié par c, donne a).
    Exercice

    Vrai ou faux (justifié)

    (1) si a est multiple de b et a est multiple de c, alors, a est multiple de b + c.

    (2) si a est multiple de c, si b est multiple de c et si a≤ b, alors, a - b est multiple de c.

    (3) je connais un multiple de 14 qui ne soit pas un multiple de 7.

    (4) je connais un multiple de 7 qui ne soit ni un multiple de 14, ni un multiple de 21, ni le nombre 7, lui-même.

    Diviseurs
    Définition : on dit que a est diviseur de b s'il existe un entier naturel k tel que b = k x a.
    Exemple : 8 est diviseur de 56. En effet, 56 = 7 x 8.
    Exercice corrigé
    Vrai ou faux (justifié)

    (1) 5 est-il diviseur de 25 ?

    (2) 18 est-il diviseur de 9 ?

    (3) Quel est l'ensemble des diviseurs de 48 ?

    (4) Soit n un entier naturel non nul. 0 est-il diviseur de n ?

    Remarque importante : si a est un multiple de b, alors b est un diviseur de a ; réciproquement, si b est un diviseur de a, alors a est un multiple de b.
    Théorème

    Propriété additive : si c est diviseur de a et c est diviseur de b, alors, c est diviseur de a + b.
    C'est exactement la propriété additive vue dans la section précédente.
    Théorème
    Propriété de transitivité : si c est diviseur de b et b est diviseur de a, alors, c est diviseur de a.
    C'est exactement la propriété de transitivité vue dans la section précédente.
    Exercice

    Vrai ou faux (justifié)

    (1) si c est diviseur de a, si b est diviseur de a et si c≥ b, alors, c-b est diviseur de a.

    (2) je connais un diviseur de 24 qui ne soit pas un diviseur de 12, ni 24, lui-même.

    (3) je connais un diviseur de 124 qui ne soit pas un diviseur de 248.

    Compléments (si nécessaire) !

    Exercice n°1 (Page 12 - Actimath 1 - Chapitre 1 . Diviseurs et Multiples)

    Exercice n°2 (Page 18 - Actimath 1 - Chapitre 1 . Diviseurs et Multiples)

    Exercice n°4 (Page 223 - Espace Math 1 - Chapitre 7 . Diviseurs et Multiples)

    Division euclidienne
    Définition : pour a (entier naturel quelconque) et b (entier naturel non nul quelconque), il existe un entier naturel q et un entier naturel r tels que
a = b x q + r,
    où
0≤ r < b .
    Dans ce cas, on parle de division euclidienne de a (le dividende) par b (le diviseur) où q est un quotient et r un reste.
    Théorème

    Dans la division euclidienne de a par b, le quotient et le reste sont définis de façon unique.
    Note : le quotient provenant de la division euclidienne de a par b est souvent appelé quotient euclidien pour le distinguer du quotient a/b.
    Exemple : dans la division euclidienne de 356 par 15, le quotient est 23 et le reste est 11 ; cela s'écrit : 356 = 23 x 15 + 11.
    L'algorithme d'Euclide pour la division euclidienne
    Le voici sur l'exemple de la division euclidienne de 3562 par 23. Il permet d'obtenir le reste (20) et le quotient (154) de cette division euclidienne.

3 5 6 2 2 3
- 2 3
  1 5 4

1 2 6  


- 1 1 5  



  1 1 2




- 9 2





2 0


    La technique opératoire dans la division euclidienne de a par b est la suivante
On écrit au brouillon la table utile des multiples de b ( 1 x b, 2 x b, ..., 9 x b).
On considère a1 le plus petit nombre constitué des premiers chiffres de a tel que a1≥ b. On effectue la division euclidienne de a1 par b dont le quotient est noté q1 et dont le reste est noté r1. q1 est le premier chiffre du quotient (d'où l'utilité de l'écriture au brouillon de la table des multiples de b).
Tant qu'il existe encore des chiffres à considérer dans a, on effectue (la première fois, i vaut 2, puis il est incrémenté à chaque fois de 1) :
.......... On considère ai le nombre formé des chiffres de ri-1 suivis du premier chiffre de a qui n'ait pas encore été considéré.
.......... On effectue la division euclidienne de ai par b dont le quotient est noté qi et dont le reste est noté ri. qi est le ième chiffre du quotient (d'où encore l'utilité de l'écriture au brouillon de la table des multiples de b).
Les restes r1, r2, ... sont appelés les restes partiels et les quotients q1, q2, ... sont appelés les quotients partiels (ce sont des chiffres).
Le reste de la division euclidienne de a par b est le dernier reste partiel obtenu ; le quotient de cette division est le nombre formé des quotients partiels.
    Exercice [Créteil, Paris, Versailles, 2004]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Besançon, 1998]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : division euclidienne à compléter
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Bordeaux, Caen, Clermont, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, La Réunion, 2000]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : minimum du dividende dans une division euclidienne (1)
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : minimum du dividende dans une division euclidienne (2)
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : reste dans la division euclidienne par 8 du carré d'un impair
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : division euclidienne (1)
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : un a priori qu'il vaut mieux regarder de près
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Lyon, 1998]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Lyon, Grenoble, 1999]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Reims, Strasbourg, 1999]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : division euclidienne (2)
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Lyon, 1998]
Sujet (analyse de productions)
Solution
    Exercice [Guadeloupe, 2004]
Sujet (didactique)
Solution
    Exercice [Toulouse, 2000]
Sujet (didactique)
Solution
    Exercice 1 des "sujets zéros" pour la session 2006 proposés par l'ARPEME
..... Sujet .....
..... Solution .....
    Exercice 4 des "sujets zéros" pour la session 2006 proposés par l'ARPEME
..... Sujet .....
..... Solution .....
    "Sujets zéros" pour la session 2006
..... Sujet .....
..... Solution .....
    Les nombres premiers
    Définition : on dit qu'un nombre est premier s'il possède exactement deux diviseurs distincts.
    Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, ...
    Ni 0 (qui possède une infinité de diviseurs), ni 1 (qui ne possède qu'un diviseur), ne sont des nombres premiers.
    Le crible d'Eratosthène
    Utilité : Cette méthode permet de décrire tous les entiers premiers inférieurs (au sens large) à un nombre donné N.
    J'écris tous les entiers naturels de 1 à N.
    Je barre 1.
    J'itère "j'entoure le suivant et je barre ses multiples", jusqu'à avoir barré ou entouré tous les nombres écrits.
    Exemple : N = 80.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
    Crible d'Eratosthène.
    Un autre crible pour donner les nombres premiers ...
    Crible de Matiiassevitch.
    Décomposition d'un entier naturel en produit de facteurs premiers
    Théorème

    Soit n un entier naturel. Alors, on peut écrire n = p1 x p2 x ... x pk où les entiers naturels p1, p2, ..., pk sont premiers.
    De plus, cette écriture est unique si p1 ≤ p2 ≤ ... ≤ pk.
    Exemple : 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
    Recherche systématique de cette décomposition : soit n l'entier naturel à décomposer en produit de facteurs premiers ; je cherche le plus petit entier naturel premier p qui divise n ; j'écris alors n = p x m et je recommence en faisant jouer à m le rôle de n.
    Exemple : 120 = 2 x 60 = 2 x 2 x 30 = 2 x 2 x 2 x 15 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5.
    Remarque : une écriture abrégée de cette décomposition eut été : 120 = 23 x 3 x 5. Ceci mène à une autre éciture du théorème précédent.
    Théorème
    Soit n un entier naturel. Alors, on peut écrire n = p1µ1 x p2µ2 x ... x pkµk où les entiers naturels p1, p2, ..., pk sont premiers et distincts, et où µ1, µ2, ..., µk sont des nombres naturels.
    De plus, cette écriture est unique si p1 < p2 < ... < pk.
    Utilisation de cette écriture : pour dénombrer les diviseurs d'un entier naturel n donné.
    Théorème
    Soit n un entier naturel tel que n = p1µ1 x p2µ2 x ... x pkµk où les entiers naturels p1, p2, ..., pk sont premiers et distincts, et où µ1, µ2, ..., µk sont des nombres naturels. Alors, le nombre de diviseurs de n est (µ1 + 1) x (µ2 + 1) x ... x (µk + 1).
    Exemple : 120 = 23 x 3 x 5, donc le nombre de diviseurs de 120 est (3 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1) = 16. Ceci peut s'expliquer également à l'aide d'un arbre !
    Exercice : nombre de diviseurs
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : nombres composés
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Amiens, 2003]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Plus grand commun diviseur de deux entiers naturels
    Définition : on appelle plus grand commun diviseur des deux entiers naturels a et b le plus grand entier naturel qui soit diviseur à la fois de a et de b (comme son nom l'indique). On le note (a,b).
    Remarque : on ne parle pas de PGCD(a,b), lorsque a et b sont conjointement nuls.
    Exemple : les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12 ; les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18 ; les diviseurs communs à 12 et à 18 sont 1, 2, 3, 6 ; le plus grand de ces diviseurs communs est donc 6 et par suite, PGCD(12,18) = 6.
    Théorème
    Soit a un entier naturel tel que a = p1µ1 x p2µ2 x ... x pkµk où les entiers naturels p1, p2, ..., pk sont premiers et distincts, et où µ1, µ2, ..., µk sont des nombres naturels.
    Soit b un entier naturel tel que b = p1µ'1 x p2µ'2 x ... x pkµ'k où les entiers naturels p1, p2, ..., pk sont premiers et distincts, et où µ'1, µ'2, ..., µ'k sont des nombres naturels.
    Alors, PGCD(a,b) = p1min(µ1, µ'1) x p2min(µ2, µ'2) x ... x pkmin(µk, µ'k).
    Exemple 1 : 12 = 22 x 3 et 18 = 2 x 32, puis PGCD(12,18) = 2min(2,1) x 3min(1,2), et enfin, PGCD(12,18) = 2 x 3 = 6.
    Exemple 2 : 120 = 23 x 3 x 5 et 108 = 22 x 33, puis PGCD(120,108) = 2min(3,2) x 3min(1,3) x 5min(1,0), et enfin, PGCD(12,18) = 22 x 3 = 12.
    Théorème
    Soient a et b deux entiers naturels. Alors, les diviseurs communs à a et à b sont les diviseurs du PGCD(a,b).
    Algorithme d'Euclide pour la recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres
    Théorème
    Soient a et b deux entiers naturels. Alors, PGCD(a,b) = PGCD(b,a).
    Théorème
    Pour tout entier naturel a non nul, PGCD(0,a) = a.
    Théorème
    On considère deux entiers naturels a et b tels que a≥ b. Alors, PGCD(a,b) = PGCD(b,a-b).
    Démonstration :
    Soit d le plus grand diviseur commun de a et b. d divise alors aussi a-b, d'après un exercice déjà vu. d est donc diviseur commun de b et de a-b, mais on ne sait pas encore s'il est le plus grand. On va alors raisonner par l'absurde et supposer qu'il existe d' un diviseur commun de b et de a-b qui soit plus grand que d. Dans ce cas, d' est diviseur aussi de a = b + (a-b), d'après la propriété additive sur les diviseurs. d' est par conséquent diviseur de a et de b et est plus grand que d, ce qui est absurde car d est défini comme étant le plus grand diviseur commun de a et de b.
    Les trois précédents théorèmes permettent de donner le plus grand commun diviseur de deux entiers naturels.
    Exemple 1 : PGCD(120, 108) = PGCD(108,12) = PGCD(96,12) = PGCD(84,12) = PGCD(72,12) = PGCD(60,12) = PGCD(48,12) = PGCD(36,12) = PGCD(24,12) = PGCD(12,12) = PGCD(12,0) = 12.
    Exemple 2 : PGCD(154, 49) = PGCD(105,49) = PGCD(56,49) = PGCD(49,7) = PGCD(42,7) = PGCD(35,7) = PGCD(28,7) = PGCD(21,7) = PGCD(14,7) = PGCD(7,7) = PGCD(7,0) = 7.
    Les soustractions itérées peuvent être remplacées par des divisions euclidiennes, rendant l'algorithme plus expert.
    Théorème
    On considère deux entiers naturels a et b tels que a≥ b. Alors, PGCD(a,b) = PGCD(b,r) où r est le reste dans la division euclidienne de a par b.
    Démonstration :
    Soit d le plus grand diviseur commun de a et b. d divise alors aussi a-b x q = r, où q est le quotient dans la division euclidienne de a par b, d'après un exercice déjà vu. d est donc diviseur commun de b et de r, mais on ne sait pas encore s'il est le plus grand. On va alors raisonner par l'absurde et supposer qu'il existe d' un diviseur commun de b et de r qui soit plus grand que d. Dans ce cas, d' est diviseur aussi de a = b x q + r, d'après la propriété additive sur les diviseurs. d' est par conséquent diviseur de a et de b et est plus grand que d, ce qui est absurde car d est défini comme étant le plus grand diviseur commun de a et de b.
    Exemple 1 : PGCD(120, 108) = PGCD(108,12) = PGCD(12,0) = 12.
    Exemple 2 : PGCD(154, 49) = PGCD(49,7) = PGCD(7,0) = 7.
    Algorithme d'Euclide.
    Une jolie application du calcul du PGCD.
    La cour aux colonnes.
    Plus petit commun multiple de deux entiers naturels
    Définition : on appelle plus petit commun multiple des deux entiers naturels a et b le plus petit entier naturel non nul qui soit multiple à la fois de a et de b (comme son nom l'indique). On le note PPCM(a,b).
    Remarque : on ne parle pas de PPCM(a,b) si l'un des deux parmi a et b est nul ; le PPCM(a,b) est un diviseur de a x b.
    Exemple : les multiples de 12 sont 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, ... ; les multiples de 18 sont 0, 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, ... ; les multiples communs à 12 et à 18 sont 0, 36, 72, ... ; le plus petit de ces multiples communs (qui soit non nul) est donc 36 et par suite, PPCM(12,18) = 36.
    Théorème
    Soit a un entier naturel tel que a = p1µ1 x p2µ2 x ... x pkµk où les entiers naturels p1, p2, ..., pk sont premiers et distincts, et où µ1, µ2, ..., µk sont des nombres naturels. Soit b un entier naturel tel que b = p1µ'1 x p2µ'2 x ... x pkµ'k où les entiers naturels p1, p2, ..., pk sont premiers et distincts, et où µ'1, µ'2, ..., µ'k sont des nombres naturels. Alors, PPCM(a,b) = p1max(µ1, µ'1) x p2max(µ2, µ'2) x ... x pkmax(µk, µ'k).
    Exemple 1 : 12 = 22 x 3 et 18 = 2 x 33, puis PPCM(12,18) = 2max(2,1) x 3max(1,2), et enfin, PPCM(12,18) = 22 x 32 = 36.
    Exemple 2 : 120 = 23 x 3 x 5 et 108 = 22 x 33, puis PPCM(120,108) = 2\max(3,2) x 3max(1,3) x 5max(1,0), et enfin, PPCM(12,18) = 23 x 33 x 5 = 1080.
    Théorème
    Soient a et b deux entiers naturels. Alors, les multiples communs à a et à b sont les multiples du PPCM(a,b).
    Théorème

    Soient a et b deux entiers naturels. Alors,
    a x b = PGCD(a,b) x PPCM(a,b).
    Exercice [Rouen (1), 1998]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Bordeaux, Caen, Clermont, Nantes, Orléans-Tours, Poiriers, La Réunion, 2000]
Sujet (disciplinaire)
Solution
Principes de numération dans l'ensemble des entiers naturels
    Dans la base décimale, celle que nous utilisons habituellement, l'écriture du nombre 2050 dégage que le nombre en question est somme de 2 milliers et de 5 dizaines.
    Elle induit également que 2050 = 2 x 1000 + 5 x 10 = 2 x 103 + 0 x 102 + 5 x 101 + 0 x 100.
    On peut voir, à travers cette écriture le rapport privilégié au nombre 10 duquel la base décimale tire son nom.
    On peut aussi écrire un nombre entier naturel n en n'importe quelle base b où b est un entier naturel supérieur ou égal à 2 :
    n = a0 x b0 + a1 x b1 + a2 x b2 + ... + ak x bk
    , où les entiers naturels a0, a1, a2, ..., ak sont strictement inférieurs à b.
    On rappelle : b0 = 1 ; b1 = b.
    Cette écriture peut aussi être abrégée comme suit : n = [ak ... a2 a1 a0](b).
    Familièrement, la base 2 s'appelle la base binaire, la base 60 s'appelle la base sexagésimale.
    Exercice [Lille, 1999]
Sujet (analyse de productions)
Solution
    Exercice [Lille, 1999]
Sujet (didactique)
Solution
    Exercice corrigé

    (1) Ecrire 101 en base 7.

    (2) Ecrire 100 en base 5.

    (3) Ecrire 100 en base 2.

    NB : Pour convertir l'écriture d'un nombre n de la base décimale en la base b :
    On obtient a0, qui est le dernier chiffre du nombre n, comme reste dans la division euclidienne de n par b, cette division fournissant le quotient q0.
    On obtient ai (tant que le quotient qi-1 est plus grand que b au sens large, en incrémentant i de 1 à chaque fois) comme reste de la division euclidienne de qi-1 par b, cette division fournissant le quotient qi.
    On obtient ak, qui est le premier chiffre du nombre n, égal à qk-1.
    Puis, n = [ak ... a1 a0](10).
    Ceci donne pour 101 en base 7, 100 en base 5, puis 100 en base 2

.

b est la base
  (b)    
QDE : quotient de la division euclidienne
N   RDE(N,b)
RDE : reste de la division euclidienne
QDE(N,b)   …  
Schéma
…      








  (7)    
On recommence tant que le quotient
101   3  
n'est pas un chiffre …
14   0  
On lit le nombre en base b en remontant. 2  
 


       








  (5)    


100   0  


20   0  


4  
 


       








  (2)    


100   0  


50   0  


25   1  


12   0  


6   0  


3   1  


1  
 


       
    Exercice corrigé

    Transcrire le nombre [12345](6) dans notre système décimal.

    Exercice
    D'une manière générale, pour faire un changement de la base b en la base b', on passe par la base 10 car cette base nous est plus familière pour faire des calculs (connaissance des tables de multiplication, ...)
    Cependant, lorsque b et b' sont intimement liés, on peut quelquefois se passer du passage par la base 10.

    (1) Transcrire le nombre [123](4) en base 2.

    (2) Ensuite, transcrire le nombre [33210323123](4) en base 2.

    Les techniques opératoires
    Pour cette partie, nous adopterons le code couleur suivant :
    en vert, la base,
    en violet les retenues additives ou soustractives,
    en bleu les retenues multiplicatives.
    L'addition
678 + 987 = [XXX](10) ;
[1234](5) + [4321](5) = [XXX](5) ;
[101010](2) + [1110101](2) = [XXX](2) ;
[(41)(42)(43)](60) + [(44)(45)(46)](60) = [XXX](60).

.


1 1 1






6 7 8




+ 9 8 7





      (10)




1 6 6 5












1 1 1 1





1 2 3 4



+ 4 3 2 1




        (5)



1 1 1 1 0









1 1








1 0 1 0 1 0
+ 1 1 1 0 1 0 1

              (2)
1 0 1 1 1 1 1 1













1 1 1






(41) (42) (43)




+ (44) (45) (46)





      (60)




(1) (26) (28) (29)
    Exercice [Lyon, 2004]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    La soustraction
987-789 = [XXX](10) ;
[4321](5)-[1234](5) = [XXX](5) ;
[10100010](2)-[1110101](2) = [XXX](2) ;
[(1)(41)(42)(43)](60)-[(44)(45)(46)](60) = [XXX](60).

.





10 10






9 8 7





- 7 8 9






1 1   (10)






1 9 8

















5 5





4 3 2 1




- 1 2 3 4





  1 1   (5)





3 0 3 2












2 2 2 2 2
2

1 0 1 0 0 0 1 0
-
1 1 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1   1   (2)



1 0 1 1 0 1
















60 60 60





(1) (41) (42) (43)




-
(44) (45) (46)





1 1 1   (60)






(56) (56) (57)
    Exercice [Aix-Marseille, Corse, Montpellier, La Martinique, 2001]
Sujet (analyse de productions)
Solution
    La multiplication
57 x 892 = [XXX](10) ;
[33](5) x [34](5) = [XXX](5) ;
[10100010](2) x [1110101](2) = [XXX](2) ;
[(1)(40)(20)](60) x [(20)(40)](60) = [XXX](60).

.












5 7












x 8 9 2













      (10)











1

















1 1














1 1 4












5 6












+
5 1 3












4 5













+ 4 5 6













          (10)











5 0 8 4 4
















































3 3













x 3 4














    (5)













1















2 2














2 4 2












2 1













+ 2 0 4













        (5)












2 3 3 2










































1 0 1 0 0 0 1 0








x 1 1 1 0 1 0 1








                (2)

1 1 1 1 1 1 10 1 1































1 0 1 0 0 0 1 0


















+



1 0 1 0 0 0 1 0




















+

1 0 1 0 0 0 1 0






















+
1 0 1 0 0 0 1 0























+ 1 0 1 0 0 0 1 0








                            (2)

1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0















































(1) (40) (20)













x (20) (40)













      (60)













1














1 26 13













(1) (6) (53) (20)











+ 13 6














(33) (26) (40)













        (60)












(34) (33) (33) (20)
    Exercice [Créteil, Paris, Versailles, 1999]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    La division euclidienne
    987 / 37 = [XXX](10) ;
    [4321](5)/ [12](5) = [XXX](5) ;
    [110111010](2)/ [101](2) = [XXX](2).










(10)






TABLES (en base 10)







9 8 7 3 7





1 x 37 = 37







- 7 4
2 6





2 x 37 = 74








   








3 x 37 = 111


















4 x 37 = 148







2 4 7







5 x 37 = 185






- 2 2 2







6 x 37 = 222







     







7 x 37 = 259


















8 x 37 = 296








2 5







9 x 37 = 333
























































(5)






TABLES (en base 5)






4 3 2 1 1 2





1 x 12 = 12






- 4 1

3 1 3




2 x 12 = 24







   









3 x 12 = 41



















4 x 12 = 103







2 2



















- 1 2




















   





















5




















1 0 1


















-
4 1



















1    




















1 0





























































2





(2)












1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1




TABLES (en base 2)
- 1 0 1





1 0 1 1 0 0 0
1 x 12 = 12


  1  












































1 1 1


















- 1 0 1



















     











































1 0 1


















- 1 0 1



















     












































0 0 1 0












.

Technique de la multiplication à la russe et égyptienne
    Sur l'exemple du calcul du produit de 88 et 82.
RUSSE


88 x 82

176
41

352
20

704
10

1408
5

2816
2

5632
1
Total 7216





EGYPTIENNE


88
1

176
2

352
4

704
8

1408
16

2816
32

5632
64
Totaux 7216
82
    Multiplication Egyptienne
    Multiplication à la Russe
    Questions

    Par ces deux techniques, calculer 83 x 56.

    Expliquer que ces techniques sont valables.

    Combien de lignes la multiplication 4567 x 3456 nécessite-t-elle (il n'est pas obligatoire d'effectuer le calcul pour répondre à la question) ?

    Les critères de divisibilité dans la base décimale
    Théorème "critère de divisibilité par 2"
    Un entier naturel n est divisible par 2 si son chiffre des unités est divisible par 2 (i.e. est 0, 2, 4, 6 ou 8), et réciproquement.
    Théorème "critère de divisibilité par 4"
    Un entier naturel n est divisible par 4 si le nombre constitué du chiffre des dizaines et du chiffre des unités de n est divisible par 4 (i.e. est 00, 04, 08, ... ou 96), et réciproquement.
    Théorème "critère de divisibilité par 8"
    Un entier naturel n est divisible par 8 si le nombre constitué du chiffre des centaines, du chiffre des dizaines et du chiffre des unités de n est divisible par 8 (i.e. est 000, 008, 016, ... ou 992), et réciproquement.
    Théorème "critère de divisibilité par 5"
    Un entier naturel n est divisible par 5 si son chiffre des unités est divisible par 5 (i.e. est 0 ou 5), et réciproquement.
    Théorème "critère de divisibilité par 25"
    Un entier naturel n est divisible par 25 si le nombre constitué du chiffre des dizaines et du chiffre des unités de n est divisible par 25 (i.e. est 00, 25, 50 ou 75), et réciproquement.
    Théorème "critère de divisibilité par 10"
    Un entier naturel n est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0, et réciproquement.
    Théorème "critère de divisibilité par 100"
    Un entier naturel n est divisible par 100 si son chiffre des dizaines et son chiffre des unités sont 0, et réciproquement.
    Théorème "critère de divisibilité par 3"
    Un entier naturel n est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, et réciproquement.
    Théorème "critère de divisibilité par 9"
    Un entier naturel n est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9, et réciproquement.
    Théorème "critère de divisibilité par 11"
    Un entier naturel n est divisible par 11 si l'écart entre la somme de ses chiffres de rang pair et la somme de ses chiffres de rang impair est divisible par 11, et réciproquement.
    Compléments (si nécessaire) !

    Exercice n°3 (Page 18 - Actimath 1 - Chapitre 1 . Diviseurs et Multiples)

    Chiffres croisés

    Démonstrations : Les démonstrations des théorèmes "critère de divisibilité par 2, 4, 8, 5, 25, 10, 100" sont du même type. Il n'est ainsi démontré que le théorème "critère de divisibilité par 4".
    Soit n = [ak ak-1 ... a2 a1 a0](10).
    On a n = [ak ak-1 ... a2](10) x 100 + [a1 a0](10).
    Si n est divisible par 4, alors, comme 100 est divisible par 4, n-[ak ak-1 ... a2](10) x 100 est aussi divisible par 4. Et, [a1 a0](10), qui est le nombre constitué du chiffre des dizaines et du chiffre des unités de n, est divisible par 4.
    Réciproquement, si le nombre constitué du chiffre des dizaines et du chiffre des unités de n est divisible par 4, alors, comme 100 est divisible par 4, [ak ak-1 ... a2](10) x 100 + [a1 a0](10) est aussi divisible par 4.
    Et, n est divisible par 4.
    Démonstrations : Les démonstrations des théorèmes "critère de divisibilité par 3, 9, 11" sont du même type. Il n'est ainsi démontré que le théorème "critère de divisibilité par 9".
    Soit n = [ak ak-1 ... a2 a1 a0](10).
    On a n = 10k x ak + 10k-1 x ak-1 + ... + 10 x a1 + a0.
    Puis n = ((10k-1) + 1) x ak + ((10k-1-1) + 1) x ak-1 + ... + ((10-1) + 1) x a1 + a0.
    Ensuite, n = (10k-1) x ak + (10k-1-1) x ak-1 + ... + (10-1) x a1 + [ak + ak-1 + ... + a1 + a0].
    Et, enfin, n = 9 x [11... 11](10) x ak + 9 x [11... 11](10) x ak-1 + ... + 9 x [1](10) x a1 + [ak + ak-1 + ... + a1 + a0].
    Si n est divisible par 9, alors, comme 9 est divisible par 9, n-{9 x [11... 11](10) x ak + 9 x [11... 11](10) x ak-1 + ... + 9 x [1](10) x a1} est aussi divisible par 9.
    Et, ak + ak-1 + ... + a1 + a0, qui est la somme des chiffres de n, est divisible par 9.
    Réciproquement, si la somme des chiffres de n, ak + ak-1 + ... + a1 + a0, est divisible par 9, alors, comme 9 est divisible par 9, 9 x [11... 11](10) x ak + 9 x [11... 11](10) x ak-1 + ... + 9 x [1](10) x a1 + [ak + ak-1 + ... + a1 + a0] est aussi divisible par 9.
    Et, n est divisible par 9.
    Exercice [Guadeloupe, 2004]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : la preuve par 9
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Aix, Marseille, Corse, Montpellier, Nice, 1999]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Nancy, Metz, Reims, Strasbourg, 2001]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Toulouse, 1998]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Bordeaux, Caen, Clermont, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes, 2001]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : Numération décimale (1)
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : Numération décimale (2)
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : permutations d'un nombre à trois chiffres distincts
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Dijon, 2001]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : Numération décimale (3)
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : Numération décimale (4)
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Créteil, Paris, Versailles, 2004]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : Numération décimale (5)
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Aix, Marseille, Corse, Montpellier, Nice, 2000]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice, La Martinique, 2001]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Limoges, 2001]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Créteil, Paris, Versailles, 2000]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Montpellier, 1998]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : Numération décimale (6)
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Orléans-Tours, 1998]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : Numération décimale (7)
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : Numération décimale (8)
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Amiens, 2002]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice 3 des "sujets zéros" pour la session 2006 proposés par l'ARPEME
..... Sujet .....
..... Solution .....
    "Sujets zéros" pour la session 2006
..... Sujet .....
..... Solution .....

Exercices diciplinaires corrigés de cette page.